已知f(x)=,若不等式f(x﹣2)≥f(x)对一切x∈R恒成立,则a的最大值为 .

已知f(x)=

,若不等式f(x﹣2)≥f(x)对一切x∈R恒成立,则a的最大值为 ﹣

.

[考点]函数恒成立问题.

[专题]分类讨论;转化思想;转化法;函数的性质及应用.

[分析]根据分段函数的表达式,分别讨论x的取值范围,利用参数分离法求出a的范围即可得到结论.

[解答]解:∵不等式f(x﹣2)≥f(x)对一切x∈R恒成立,

∴若x≤0,则x﹣2≤﹣2.

则不等式f(x﹣2)≥f(x)等价为,﹣2(x﹣2)≥﹣2x,

即4≥0,此时不等式恒成立,

若0

则不等式f(x﹣2)≥f(x)等价为,﹣2(x﹣2)≥ax2+x,

即ax2≤4﹣3x,

则a≤

=

﹣

,

设h(x)=

﹣

=4(

﹣

)2﹣9,

∵0

≥

,

则h(x)≥﹣9,∴此时a≤﹣9,

若x>2,则x﹣2>0,

则f(x﹣2)≥f(x)等价为,a(x﹣2)2+(x﹣2)≥ax2+x,

即2a(1﹣x)≥2,

∵x>2,∴﹣x<﹣2,1﹣x<﹣1,

则不等式等价,4a≤

=﹣

即2a≤﹣

则g(x)=﹣

在x>2时,为增函数,

∴g(x)>g(2)=﹣1,

即2a≤﹣1,则a≤﹣

,

故a的最大值为﹣

,

故答案为:﹣

[点评]本题主要考查不等式恒成立问题,利用分类讨论的数学思想,结合参数分离法进行求解即可.

标签：不等式,最大值,已知