为丰富农村业余文化生活，决定在A，B，N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB=8km，BC=4km．经协商，文化服务中心拟建在与A，B等距离的O处，并建造三条道路AO，BO，NO与各村通达．若道路建设成本AO，BO段为每公里a万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为w万元．（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离．

考点： 函数模型的选择与应用．

专题： 应用题；函数思想；函数的性质及应用．

分析： （1）设∠AOB=θ，三条道路建设的费用相同，则，利用三角变换求解．

（2）总费用，即，求导判断极值点，令，再转换为三角变换求值解决．

解答： 解：（1）不妨设∠AOB=θ，依题意得，

且，由，

若三条道路建设的费用相同，则

所以，所以．

由二倍角的正切公式得，

即，

答：该文化中心离N村的距离为．

（2）总费用

即，

令

当，

所以当有最小值，

这时，

答：该文化中心离N村的距离为．

点评： 本题综合考查了函数的性质在实际问题中的应用，转换为三角函数最值求解．

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