世代交叠模型
一、含义
“世代交叠模型” (Over Lapping Generation Models ，简称 OLG 或 OG 模型 ) 由萨缪尔森所首创，它针对货币经济理论缺乏微观基础这一缺陷，从货币的价值储藏职能出发，研究人们为什么要持有货币 ( 没有内在价值的 ) 、货币在何种条件下具有正价值 ( 价格 ) ，并在此基础 ( 即所谓“微观基础” ) 上建立货币分析的理论模型。该模型创立后，得到了很多人的响应，在原始模型的基础上作了大量修正工作，成为今天宏观经济学，尤其是货币经济学中最常用的模型之一。
在最简单的 OG 模型中，每个人只存活两期 (t 时刻出生的人到 t+1 时刻就成为老人 ) 。经济中不存在生产，个人消费完全由天生的禀赋 (endowment) 支持。年轻人具有一个单位的禀赋，老人则没有禀赋。设 t 时刻有 个人出生，人口增长率为 n ，则通过适当的中心化，有 。
先假定所有禀赋为易腐品 (perishable goods) ，随后再放宽这个限制。在任意时期 t ，如全社会的商品都分配给年轻人，则每个年轻人可消费一个单位；如全部分配给老人，则每个老人可消费 1 十 n 个单位。 t 期的社会消费可能性由图 1 中的 AB 段表示，图中： 表示 y(y=t ， t+1) 时刻老人 (x=2) 或年轻人 (x=1) 的消费。相应地，个人在他整个生命期内的消费可能性由图 2 中的 AB 段表示。
图 1 图 2
由无差异曲线的性质可知，个人的效用最大化选择应为 AB 之间的点 ( 年轻和年老时都消费一点 ) ，如图 2 中 C 点。但是，因为禀赋不可储藏， C 点不能通过年轻时储蓄、年老时解除储蓄 (dissaving) 的方法达到。如果经济中不存在货币，则个人也不能通过交易的方法达到 C 点。原因很简单：年轻人的交易对象只能是老人，但等到他年老时，原来与之交易的老人已经不存在了。因此，在物物交换经济中，不可能通过跨代际 (intergeneration) 的两两交换达到效用最大化。年轻人的惟一选择是 A 点，年轻时消费 1 单位商品，年老时不消费。
现在我们在 OG 模型中引入政府纸币。假定在时刻 0 ，政府给老人 H 张钞票，如果此后的每一代人都相信纸币的购买力，则 t>0 时刻出生的个人效用最大化问题为：
(1)
s.t. (2)
求解，得最大化一阶条件：
(3)
方程 (3) 隐含了货币需求函数 ( 货币需求为由通货紧缩率表示的货币收益率 的函数 ) ：
(4)
这样，在 t 时刻达到货币均衡的条件为年轻人吸纳老年人的全部货币，即：
(5)
将通货紧缩率 记作 ，，考虑时刻 t 和 t 十 1 ，利用方程 (4) 、方程 (5) ，有：
(6)
则在稳态时必有：
g=n (7)
即在货币量不变时通货紧缩率必定等于人口增长率，此时，纸币具有正价值，个人效用达到以 C 点表示的最大化。
接下来放宽所有商品均为易腐晶的假设，研究禀赋可储藏，且储藏收益率为 r>-1( 即可储藏，但要支付成本 ) 的情况。
如果 r
容易知道，此时个人效用不可能超过由 C 点代表的货币经济条件下的最大值，故引入货币能够改善所有人的福利水平。但如果 r>n ，则物物交换经济本身已经达到帕累托最优，货币无存在价值 ( 这对储藏货币的收益规定了上限 ) 。
图 3
还可以进一步放宽货币数量恒为 H 的假定，考察名义货币数量增长率为 的情况。运用与前面相同的方法，得：
(8)
同样，货币均衡的条件是 g>r ，即：
(9)
方程 (9) 表明，为了货币均衡的存在，货币增长率不能太快。
二、世代交叠与货币增长模型
本章开头即已说明，货币增长模型的核心问题是研究货币增长、通货膨胀与产出之间的关系。而在上面看到的原始的世代交叠模型中，货币除作为代际交换的媒介之外，不提供任何可以进入消费和效用函数中的服务，除非存在相当的通货紧缩 ( 它是持有货币的收益率，这个收益率必须比持有其他资产高 ) ，否则人们不会选择持有货币。因此，该模型不适用于分析通货膨胀与资本积累之间的联系，要研究代际关系对货币增长的作用，
必须对它加以改进。
1 ．模型假定
①不考虑人口增长；
②个人生命分两个阶段；
③个人只在年轻时工作，得到工资 w ，除当期消费外，以货币形式储蓄一部分收入 m ，以资本形式储蓄部分收入 k ，资本具有收益率 r ，持有货币的收益率无名义收益，故其实际收益用通货膨胀率 表示；
④只有年轻人增加货币和资本持有。一旦进入老年阶段，就将用其原先储蓄的货币和资本交换消费品。持有货币只在年轻时具有效用，进入老年阶段后货币的惟一作用是作为交易手段，不再进入效用函数；
⑤政府从铸币税 ( 通货膨胀税 ) 中获得的收入全部转移支付给老人，设为 x 。
2 ．模型构造
个人福利函数或效用函数可以写为：
W=W( ) (10)
其中： 和 (i=1 ， 2) 代表生命中两阶段的消费量和持有的实际货币余额。
对于年轻人而言，需要使下列福利函数最大化：
(11)
个人在其生命的第一、第二阶段消费为：
= w-k-m (12)
=k(1+r)+m/(1+ )+x (13)
福利函数最大化的一阶条件为：
(14)
(15)
其中： 代表个人时间偏好。条件 (15) 的含义是，在第一阶段中，将收入用于消费的边际效用等于以货币形式储蓄并在第二阶段用于消费的边际效用，它是对斯德劳斯基模型中条件即 的一种修正。
3 ．交叠世代模型中的通货膨胀效应
下面我们进一步考察通货膨胀对资本积累的效应。在均衡条件下，实际利率 ( 资本边际报酬 ) 与工资 ( 这里假设产出只在工资与资本利得之间分配，故产出减资本收益即得工资 ) 决定于：
(16)
(17)
注意，因为假设只有年轻人工作，上式中的 f(k) 实际上是年轻人的人均产出。为简化起见，仍假定不存在人口增长，且年轻人数量等于老年人，则通货膨胀率 等于货币增长率 ，年轻人人均铸币税 ( ) 等于对老年人的人均转移支付 (x) 。在均衡状态下，稳态消费路径为：
(18)
(19)
原来的效用最大化一阶条件方程 (14) 和方程 (15) 变为：
(20)
(21)
对方程 (18) 一方程 (20) 做直接比较静态表明，只要满足模型的稳态条件，就有 dk ／ d >0 。就是说，在稳态时，通货膨胀率上升将使稳态资本密度上升，货币非中性成立。
4 ．铸币税分配方式的影响
以上我们看到的两阶段交叠世代的货币增长模型中得出了货币非中性 ( 对资本积累 ) 的结论，但是，这个结论对模型的假定非常敏感，若对前述假定加以修正，则结论可能出现变化，下面我们考察修正第五项假定 ( 即铸币税全部转移支付给老年人 ) 会有何种影响。
若全部铸币税 ( ) 均转移支付给年轻人，则方程 (18) 、方程 (19) 变为：
(22)
(23)
现在通货膨胀对稳态资本的效应决定于方程 (20) 一方程 (23) 。比较静态分析表明，在这种条件下，稳态人均资本比铸币税全部转移给老年人时为少，消费路径也更为平坦，但尽管如此，通货膨胀对资本持有的稳态效应仍是正的 (dk/d >0) 。
5 ．货币效用的影响
前述模型均假定货币只在生命周期中第一阶段提供效用，第二阶段只作为交易媒介使用，这种假定当然是不现实的。 Drazen 的模型对此作了修正，他假定货币在生命两阶段均提供效用，因此老人和年轻人均持有实际余额。在这种条件下，若铸币税转移支付给年轻人，则通货膨胀率上升导致年轻人对资本需求的增长，但是通货膨胀率增长也增加了政府收取的铸币税。若铸币税支付给老年人，则第二阶段收入增加，产生减少第一阶段储蓄的效应、减少资本需求的效果。不过，即使在 Drazen 模型中，铸币税转移效应也还不够强到使稳态条件下通货膨胀与资本积累之间的关系发生逆转，托宾效应仍然成立。
三、两阶段 OLG 模型的缺陷
两阶段 OLG 模型在效用最大化框架下通过引入世代交叠问题，对斯德劳斯基模型作了修正，而其结论却又是支持托宾效应的，它极大地鼓舞了信奉货币非中性的货币理论家。但是，我们从它的大量假定中也看到，这个模型的不足之处非常多，大多数假定都不符合人们的实际体验。最明显的是，关于生命周期的两阶段划分过于僵硬，而现实生活中，即便可以划出年轻与老年阶段，每个阶段也仍然包含了也许是几十年的时间段，在这几十年中，简单地假定“年轻人”工作、“老年人”不工作，“年轻人”积累货币与资本、“老年人”只是消耗原先积累的货币与资本均不合理。
关于这些缺陷是否可以修正，存在相当多的争论，但经验告诉我们，模型越是贴近现实，其结论的明确性与独特性就越是要打折扣，从这个意义上说，引人世代交叠概念对于解决货币增长问题很大程度上也只是一种理论家的偏好，对政策操作不会有什么实际效果。
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