2011年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是
A．(-∞,-1]B．[1,+∞）
C．[-1，1]D．（-∞，-1]∪[1，+∞）
2．复数
A．iB．-iC．D．
3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A．B．
C．(1,0)D．(1，)
4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A．-3
B．-
C．
D．2
5．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，
延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：
①AD+AE=AB+BC+CA；
②AF·AG=AD·AE
③△AFB～△ADG
其中正确结论的序号是
A．①②B．②③
C．①③D．①②③
6．根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是
A．75，25B．75，16C．60，25D．60，16
7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是
A．8B．C．10D．
8．设，.记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为
A．B．
C．D．
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．在中。若b=5，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。
10．已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k=___________________。
11．在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；____________。
12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个。（用数字作答）
13．已知函数若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______
14．曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F?2（1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△FPF的面积大于a。
其中，所有正确结论的序号是。
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）
已知函数。
（Ⅰ）求的最小正周期：
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。
16．（本小题共14分）
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.
(Ⅰ)求证：平面
（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.
17．本小题共13分
以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
（注：方差，其中为，……的平均数）
18．（本小题共13分）
已知函数。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围。
19．（本小题共14分）
已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将表示为m的函数，并求的最大值.
20．（本小题共13分）
若数列满足，数列为数列，记=．
（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；
（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C（2）A（3）B（4）D
（5）A（6）D（7）C（8）C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）（10）1
（11）—2（12）14
（13）（0，1）（14）②③
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为
所以的最小正周期为
（Ⅱ）因为
于是，当时，取得最大值2；
当取得最小值—1.
（16）（共14分）
证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD.
所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面PAC.
（Ⅱ）设AC∩BD=O.
因为∠BAD=60°，PA=PB=2,
所以BO=1，AO=CO=.
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则
P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，0）.
所以
设PB与AC所成角为，则
.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
设P（0，－，t）（t0），
则
设平面PBC的法向量,
则
所以
令则
所以
同理，平面PDC的法向量
因为平面PCB⊥平面PDC,
所以=0，即
解得
所以PA=
（17）（共13分）
解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
方差为
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=
同理可得
所以随机变量Y的分布列为：
Y1718192021P
EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×
=19
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）
令，得.
当k0时，的情况如下
x()(,k)k+0—0+↗↘0↗
所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k0时，的情况如下
x()(,k)k—0+0—↘0↗↘
所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是
（Ⅱ）当k0时，因为，所以不会有
当k0时，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是
所以等价于
解得.
故当时，k的取值范围是
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知得
所以
所以椭圆G的焦点坐标为
离心率为
（Ⅱ）由题意知，.
当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为
此时
当m=－1时，同理可得
当时，设切线l的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为，则
又由l与圆
所以
由于当时，
所以.
因为
且当时，AB=2，所以AB的最大值为2.
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）
（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，
所以.
所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.
所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由于a2000—a1000≤1，
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12，a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是递增数列.
综上，结论得证。
（Ⅲ）令
因为
……
所以
因为
所以为偶数,
所以要使为偶数,
即4整除.
当
时，有
当的项满足，
当不能被4整除，此时不存在E数列An，
使得
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