[答案]解:(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点,
所以,椭圆的方程为
(II)设则
当直线的斜率为时,的垂直平分线就是轴,
轴与直线的交点为,
又因为,所以,
所以是等边三角形,所以直线的方程为
当直线的斜率存在且不为时,设的方程为
所以,化简得
所以,则
设的垂直平分线为,它与直线的交点记为
所以,解得,则
因为为等边三角形, 所以应有
代入得到,解得(舍),
此时直线的方程为
综上,直线的方程为或
.(2013届北京丰台区一模文科)已知椭圆C: ()的右焦点为F(2,0),且过点P(2,).直线过点F且交椭圆C于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(),求直线的方程.
[答案]已知椭圆C: ()的右焦点为F(2,0),且过点(2,).直线过点F且交椭圆C于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(),求直线的方程.
解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为,则
,解得,
,所以椭圆C的方程为,
(Ⅱ)当斜率不存在时,不符合题意,
当斜率存在时设直线l的方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为N(x,y),
由得,
因为,
所以,
所以, ,
因为线段AB的垂直平分线过点M(),
所以,即,所以,
解得, ,
所以直线l的方程为或
.(2013届北京西城区一模文科)如图,已知椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点.
(Ⅰ)若点的横坐标为,求直线的斜率;
(Ⅱ)记△的面积为,△(为原点)的面积为.试问:是否存在直线,使得?说明理由.
[答案](Ⅰ)解:依题意,直线的斜率存在,设其方程为
将其代入,整理得
设, ,所以
故点的横坐标为.
依题意,得,
解得
(Ⅱ)解:假设存在直线,使得,显然直线不能与轴垂直.
由(Ⅰ)可得
因为,
所以,
解得, 即
因为 △∽△,
所以
所以,
整理得
因为此方程无解,
所以不存在直线,使得
.(2013北京丰台二模数学文科试题及答案)已知椭圆C:,其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点,其中点M (m,) 满足,且.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率e;
(Ⅱ)用m表示点E,F的坐标;
(Ⅲ)证明直线EF与y轴交点的位置与m无关.
[答案]解:(Ⅰ)依题意知, ,;
(Ⅱ) ,M (m,),且,
直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=,
直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= ,
由得,
由得,
;
(Ⅲ)据已知, ,
直线EF的斜率
直线EF的方程为 ,
令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关
.(北京市石景山区2013届高三一模数学文试题)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,左焦点F1到直线:的距离等于长半轴长.
(I)求椭圆C的方程;
(II)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,线段MN的中垂线与x轴相交于点P(m,O),求实数m的取值范围.
[答案]
.(2013届北京东城区一模数学文科)已知椭圆:的两个焦点分别为, ,离心率为,且过点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ), , ,是椭圆上的四个不同的点,两条都不和轴垂直的直线和分别过点, ,且这两条直线互相垂直,求证:为定值.
[答案](共13分)
(Ⅰ)解:由已知,
所以.
所以.
所以:,即.
因为椭圆过点,
得,.
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知椭圆的焦点坐标为,.
根据题意, 可设直线的方程为,
由于直线与直线互相垂直,则直线的方程为.
设,.
由方程组消得
.
则 .
所以=.
同理可得.
所以.
.(2013北京顺义二模数学文科试题及答案)已知椭圆的离心率为, ,为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且的周长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于、两点,若(为坐标原点),求证:直线与圆相切.
[答案]解(Ⅰ)由已知得,且解得
又所以椭圆的方程为
(Ⅱ)证明:有题意可知,直线不过坐标原点,设的坐标分别为
(ⅰ)当直线轴时,直线的方程为且
则
解得故直线的方程为
因此,点到直线的距离为
又圆的圆心为,半径
所以直线与圆相切
(ⅱ)当直线不垂直于轴时,设直线的方程为
由得
故
即①
又圆的圆心为,半径
圆心到直线的距离为②
将①式带入②式得 吗 所以
因此,直线与圆相切
.(2013届房山区一模文科数学)已知椭圆和点,垂直于轴的直线与椭圆交于两点,连结交椭圆于另一点.
(Ⅰ)求椭圆的焦点坐标和离心率;
(Ⅱ)证明直线与轴相交于定点.
[答案](Ⅰ)由题意知: 所以
所以,焦点坐标为; 离心率
(Ⅱ)由题意知:直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为
, ,则,
由 得
则 (1)
直线AE的方程为,
令,得 (2)
又, 代入(2)式,得(3)
把(1)代入(3)式,整理得
所以直线AE与轴相交于定点
.(2013北京昌平二模数学文科试题及答案)已知椭圆的离心率为且过点.
(I)求此椭圆的方程;
(II)已知定点,直线与此椭圆交于、两点.是否存在实数,使得以线段为直径的圆过点.如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.
[答案]解:(1)根据题意, 所以椭圆方程为
(II)将代入椭圆方程,得,由直线与椭圆有两个交点,所以,解得.
设、,则,
,若以为直径的圆过点,则,即,
而=,所以
,
解得,满足.
所以存在使得以线段为直径的圆过点
.(2013北京朝阳二模数学文科试题)已知椭圆的右焦点,长轴的左、右端点分别为,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过焦点斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形?若存在,试求点到轴的距离;若不存在,请说明理由.
[答案]解:(Ⅰ)依题设, ,则,.
由,解得,所以.所以椭圆的方程为
(Ⅱ)依题直线的方程为.
由得.
设,
,弦的中点为,
则, , , ,所以.
直线的方程为,
令,得,则.
若四边形为菱形,则,.所以.
若点在椭圆上,则.
整理得,解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.
此时点到的距离为
.(北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习文科数学)已知椭圆过点,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点且斜率为()的直线与椭圆相交于两点,直线,分别交直线 于,两点,线段的中点为.记直线的斜率为,求证: 为定值.
[答案]解:(Ⅰ)依题得解得,.
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)根据已知可设直线的方程为.
由得.
设,则.
直线,
的方程分别为:,
令,
则,所以.
所以
.(2013届北京大兴区一模文科)已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为,点P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M、N两点,直线BM与椭圆的交点为D.求线段MN长度的最小值.
[答案]解:(Ⅰ)设,由题意知 ,即
化简得曲线C方程为:
(Ⅱ)思路一
满足题意的直线的斜率显然存在且不为零,设其方程为,
由(Ⅰ)知,所以,设直线方程为,
当时得点坐标为
,易求点坐标为
所以=,
当且仅当时,线段MN的长度有最小值.
思路二:满足题意的直线的斜率显然存在且不为零,设其方程为,
联立方程:
消元得,
设, ,
由韦达定理得:,
所以,代入直线方程得,
所以,又
所以直线BQ的斜率为
以下同思路一
思路三:设,则直线AQ的方程为
直线BQ的方程为
当,得,即
当,得,即
则
又
所以
利用导数,或变形为二次函数求其最小值.
.(2013届北京海滨一模文)已知圆:,若椭圆: ()的右顶点为圆的圆心,离心率为.
(I)求椭圆的方程;
(II)已知直线:,若直线与椭圆分别交于,两点,与圆分别交于,两点(其中点在线段上),且,求的值.
[答案]解:(I)设椭圆的焦距为,
因为, ,所以
所以
所以椭圆:
(II)设(,), (,)
由直线与椭圆交于两点, ,则
所以, 则,
所以
点()到直线的距离
则
显然,若点也在线段上,则由对称性可知,直线就是轴,矛盾,
因为,所以
所以
解得,即
.(2013北京东城高三二模数学文科)已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线交椭圆于不同的两点, ,且,都在以为圆心的圆上,求的值.
[答案](共13分)解(Ⅰ) 因为, ,所以.
因为原点到直线:的距离,解得,.
故所求椭圆的方程为.
(Ⅱ) 由题意消去,整理得 . 可知.
设,
,的中点是,
则,.
所以. 所以.
即. 又因为,
所以.所以
.(2013北京房山二模数学文科试题及答案)已知椭圆()的焦点坐标为,离心率为.直线交椭圆于,两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在实数,使得以为直径的圆过点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
[答案](Ⅰ)由, ,
得, ,
所以椭圆方程是:
(Ⅱ)设,
则,
将代入,整理得(*)
则
以PQ为直径的圆过,则,即
解得,此时(*)方程,所以 存在,使得以为直径的圆过点
.(2013届北京门头沟区一模文科数学)已知椭圆与双曲线有相同的焦点,且离心率为.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,若,求的面积.
[答案]解:(I)设椭圆方程为, ,
由,可得,
既所求方程为
(II)设, ,
由有
设直线方程为,代入椭圆方程整理,得
解得
若 ,
则
解得
又的面积
答:的面积是
.(2013届北京市延庆县一模数学文)在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为.过的直线交椭圆于两点,且的周长为.过定点的直线与椭圆交于两点(点在点之间).
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线的斜率,在轴上是否存在点,使得以、为邻边的平行四边形为菱形.如果存在,求出的取值范围;如果不存在,请说明理由.
[答案]
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,离心率,
的周长为,
解得,则,
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)直线的方程为,
由,消去并整理得(*)
,解得,
设椭圆的弦的中点为,则“在轴上是否存在点,使得以、为邻边的平行四边形为菱形.”等价于“在轴上是否存在点,使得”
设,
,由韦达定理得,,
所以,
,
,
所以,,解得
,所以,
函数在定义域单调递增,,
所以满足条件的点存在,的取值范围为
.(2013北京西城高三二模数学文科)如图,椭圆的左顶点为,是椭圆上异于点的任意一点,点与点关于点对称.
(Ⅰ)若点的坐标为,求的值;
(Ⅱ)若椭圆上存在点,使得,求的取值范围.
[答案]
(Ⅰ)解:依题意,是线段的中点, 因为, ,
所以 点的坐标为
由点在椭圆上, 所以, 解得
(Ⅱ)解:设,则,且. ①
因为是线段的中点, 所以
因为,所以. ②
由 ①,② 消去,整理得 所以,
当且仅当时,上式等号成立.
所以的取值范围是
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